四川省科學城一中秦美蓉
1． 對教材地位與作用的認識
在高中數(shù)學教學中，作為數(shù)學思想應向學生滲透，強化的有：函數(shù)與方程思想；數(shù)形結合思想；分類討論思想；等價轉化及運動變化思想。不是所有的課都能把這些思想自然的容納進去，但由于“曲線和方程”這一節(jié)在教材中的特殊地位，它把代數(shù)和幾何兩個單科自然而緊密地結合在一起，因而上述思想能用到大半，這不能不引起我們教師的重視。“曲線和方程”這節(jié)教材揭示了幾何中的形與代數(shù)中的數(shù)相統(tǒng)一的關系，為“依形判數(shù)”與“就數(shù)論形”的相互轉化開辟了途徑，這正體現(xiàn)了解析幾何這門課的基本思想，用代數(shù)的方法研究幾何問題。”曲線與方程”是解析幾何中最為重要的基本內容之一.在理論上它是基礎,在應用上它是工具,對全部解析幾何的教學有著深遠的影響，另外在高考中也是考察的重點內容，尤其是求曲線的方程，學生只有透徹理解了曲線與方程的含義，才算是找到了解析幾何學習得入門之路。應該認識到這節(jié)“曲線和方程”得開頭課是解析幾何教學的“重頭戲”！
2． 教學目標的確定及依據(jù)
(大綱的要求)通過本小節(jié)的學習,要使學生了解解析幾何的基本思想,了解用坐標法研究幾何問題的初步知識和觀點,理解曲線的方程和方程的曲線的意義,初步掌握求曲線的方程的方法.所以第一課我在教學目標上是這樣設定的:
1）．了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關系,領會“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念及其關系，并能作簡單的判斷與推理；
2）．在形成概念的過程中，培養(yǎng)分析、抽象和概括等思維能力；
3）會證明已知曲線的方程。
本節(jié)課的教學目標定在“初步掌握”的水平上，但“初步”絕不等同于“含糊”，它反應在學生的學習行為上，即要求學生能答出曲線與方程間必須滿足的兩個關系，才能稱作“方程的曲線”和“曲線的方程”，兩者缺一不可，并能借助實例進一步明確這二者的區(qū)別。知識的學習與能力的培養(yǎng)是同步的，在具體操作上結合圖形分析與反例，來辨析“兩個關系”之間的區(qū)別，從認識特例到歸納出曲線的方程和方程的曲線一般概念，因而在形成概念的過程中，培養(yǎng)學生分析、抽象、概括的思維能力.會證明已知曲線的方程就能更進一步的理解曲線和方程概念的含義并為下節(jié)課求曲線的方程打基礎.
3.如何突破重難點
本小節(jié)的重點是理解曲線與方程的有關概念與相互聯(lián)系，以及求曲線方程的方法、步驟.只有深刻理解了曲線與方程的含義，才能真正掌握好求曲線軌跡方程的一般方法，進一步學好后面的內容．曲線和方程的概念比較抽象，由直觀表象到抽象概念有相當難度，對學生理解上可能遇到的問題是學生不理解“曲線上的點的坐標都是方程的解”和”“以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點”這兩句話在揭示“曲線和方程”關系各自所起的作用。有的學生只從字面上死記硬背；有的學生甚至誤以為這兩句話是同義反復。要突破這一點，關鍵在于利用充要條件，函數(shù)圖象，直線和方程,軌跡等知.識,正反兩方面說明問題.
本節(jié)課的難點在于對定義中為什么要規(guī)定兩個關系（純粹性和完備性）產生困惑，原因是不理解兩者缺任何一個都將擴大概念的外延.
4．對教學過程的設計
今天要講的“曲線和方程”這部分教材的內容主要包括“曲線方程的概念”，“已知曲線求它的方程”、“已知方程作出它的曲線”等。在課時安排上分為3個課時進行教學，具體的課時分配是：第一課時講解“曲線與方程”和“方程與曲線”的概念及其關系；第二課時講解求曲線的方程一般方法，第三課時為習題課，通過練習來總結、鞏固和深化本節(jié)知識。如果以為學生不真正領悟曲線和方程得關系照樣能求出方程，照樣能計算某些難題，因而可以忽視這個基本概念得教學，這不能不說是一種“舍本逐末”得偏見。
在教材中,曲線和方程這一概念是隨著知識的講授而不斷深化,逐步為學生所理解,因而教材中從直線開始,多次,重復地闡述,這說明其重要性.同時也說明理解它,掌握它確實需要一個過程.數(shù)學本身是很抽象，把數(shù)學和實際問題相結合才能激發(fā)學生的學習興趣，真正達到素質教育的要求。根據(jù)以上考慮，確定了這節(jié)課教學過程的基本線索是：實際問題引入，提出課題→運用反例，揭示內涵→討論歸納，得出定義→集合表述，強化理解→知識應用，反復辨析。
教材的編寫也往往體現(xiàn)著教法.,例如,本節(jié)一開頭說“我們研究過直線的各種方程，討論了直線和二元一次方程的關系。”學生已經有了用方程（有時用函數(shù)式的形式出現(xiàn)）表示曲線的感性認識，在本節(jié)教學中充分發(fā)揮這些感性認識的作用。從人造地球衛(wèi)星運行的軌道等生動形象的實際問題引入，引起學生的興趣和好奇心以及對數(shù)學的應用有了更高的認識，更激發(fā)他們進一步學好數(shù)學的決心。(具體……)提出課題。運用學生熟知的知識，1）求線段AB的垂直平分線方程和2）作出方程y=x2的圖象作為引例，從曲線到方程，從方程到曲線兩方面入手分析了曲線上的點和方程的解之間的關系，為形成曲線和方程的概念提供了實際模型，但是如果就此而由教師直接給出結論，那就不僅會失去開發(fā)學生思維的機會，影響學生的理解，而且會使教學變得枯燥乏味，抑制了學生學習的主動性和積極性，接著用反例來突破難點。通過反例1）直線去掉第三象限部分，則方程y=x的解為坐標的點不都在曲線上，以及2）改方程為，那么曲線上就混有不滿足方程的點坐標就此揭示“兩者缺一”與直覺的矛盾，通過舉反例和步步追問使我要的答案逐步明了，從而又促使學生對概念表述的嚴格性進行探索，學生自已認識曲線和方程的概念必須要具備的兩個關系，培養(yǎng)學生分析，歸納問題的能力，自然得出定義。并且把這個關系板書到黑板上，以示這就是這節(jié)課的重點。為了在重難點有所突破后強化其認識，又用集合相等的概念來解釋曲線和方程的對應關系，并以此為工具來分析實例，這將有助于學生的理解，有助于學生通其法，知其理。
然后通過運用與練習，糾正錯誤的認識，促使對概念的正確理解，通過反復重現(xiàn)，可以不斷領悟，加強識記。所以安排了例1，例2（見課件）目的也在于幫助學生正確理解概念，通過解題辨析“兩個關系”，實現(xiàn)本節(jié)課的教學目標，為此題目中的“曲線”和“方程”都力求簡單,由此得出點在曲線上的充要條件。
曲線是符合某種條件的點的軌跡，為了下節(jié)課“求曲線的方程”的教學，安排了例3（見課件）證明曲線的方程，增加學生的感性認識，由于教材上有嚴謹?shù)淖C明過程，讓學生閱讀并總結證明已知曲線的方程的方法和步驟，上升到理論上，可以培養(yǎng)學生獨立思考，閱讀歸納的能力。為了讓學生更深入的理解這節(jié)課的主要內容，通過4個變式引申檢查他們的掌握程度，但難度不能太大，我選擇這樣幾個練習：（略）簡單評講后小結本課的主要內容，進一步強化“曲線和方程”概念中兩個關系缺一不可，只有符合關系1）2）才能進行數(shù)與形的轉化。由于下節(jié)課的內容是求曲線的方程，特地安排了一個思考探索題。
5對學生學習活動的引導和組織
教案的設計與教案的實施往往有一定的距離，本節(jié)課有著概念性強，思維量大，例題與練習題不多的特點，這就決定了整節(jié)課將以學生的觀察、思考、討論為主，通過提問，舉例，啟發(fā)，互動完成教學，在具體操作上比較靈活，視學生的具體情況而定，把握學生的思維規(guī)律于數(shù)學思想的基本方法。例如，在概念教學中引導學生看反例，通過正反對比的方法，當學生觀察了例1回答不清為什么，可以舉出幾個點的坐標作檢驗，這就是”從特殊到一般“的方法：或引導學生看圖，比比劃劃，這就是“從直觀到抽象”的方法。只要啟發(fā)方法符合學生的認識規(guī)律，學生的認識活動就會順利展開，而且在認知的過程中訓練了探索的能力。強化數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，完善學生的數(shù)學的結構，讓學生動手、動腦，以及觀察、聯(lián)想、猜測、歸納等合理推理，鼓勵學生多向思維、積極思考，勇于探索，從中培養(yǎng)學生合情推理能力，數(shù)學交流與合作能力以及主動參與的精神。