7.6曲線和方程（2）求曲線的方程
●四川省成都石室中學蔣富揚
教材《人教版全日制普通高中教科書（必修）第二冊（上）》
一、教材分析
1.教材背景
作為曲線內容學習的開始，“曲線與方程”這一小節思想性較強，約需三課時，第一課時介紹曲線與方程的概念；第二課時講曲線方程的求法；第三課時側重對所求方程的檢驗.
本課為第二課時
主要內容有：解析幾何與坐標法；求曲線方程的方法（直譯法）、步驟及例題探求.
2.本課地位和作用
承前啟后，數形結合
曲線和方程，既是直線與方程的自然延伸，又是圓錐曲線學習的必備，是后面平面曲線學習的理論基礎，是解幾中承上啟下的關鍵章節.
“曲線”與“方程”是點的軌跡的兩種表現形式.“曲線”是軌跡的幾何形式，“方程”是軌跡的代數形式；求曲線方程是用方程研究曲線的先導，是解析幾何所要解決的兩大類問題的首要問題.體現了坐標法的本質——代數化處理幾何問題，是數形結合的典范.
后繼性、可探究性
求曲線方程實質上就是求曲線上任意一點（x,y）橫縱坐標間的等量關系，但曲線軌跡常無法事先預知類型，通過多媒體演示可以生動展現運動變化特點，但如何獲得曲線的方程呢？通過創設情景，激發學生興趣，充分發揮其主體地位的作用，學習過程具有較強的探究性.
同時，本課內容又為后面的軌跡探求提供方法的準備，并且以后還會繼續完善軌跡方程的求解方法.
數學建模與示范性作用
曲線的方程是解析幾何的核心.求曲線方程的過程類似于數學建模的過程，它貫穿于解析幾何的始終，通過本課例題與變式，要總結規律，掌握方法，為后面圓錐曲線等的軌跡探求提供示范.
數學的文化價值
解析幾何的發明是變量數學的第一個里程碑，也是近代數學崛起的兩大標志之一，是較為完整和典型的重大數學創新史例.解析幾何創始人特別是笛卡兒的事跡和精神——對科學真理和方法的追求、質疑的科學精神等都是富有啟發性和激勵性的教育材料.可以根據學生實際情況，條件允許時指導學生課后收集相關資料，通過分析、整理，寫出研究報告.
3.學情分析
我所授課班級的學生數學基礎比較好，思維活躍，在剛剛學習了“曲線的方程和方程的曲線”后，學生對這種必須同時具備純粹性和完備性的概念有了初步的認識，對用代數方法研究幾何問題的科學性、準確性和優越性等已有了初步了解，對具體（平面）圖形與方程間能否對應、怎樣對應的學習已經有了自然的求知欲望.
二、目標分析
1.教學目標
知識技能目標
理解坐標法的作用及意義.
掌握求曲線方程的一般方法和步驟，能根據所給條件，選擇適當坐標系求曲線方程.
過程性目標
通過學生積極參與，親身經歷曲線方程的獲得過程，體驗坐標法在處理幾何問題中的優越性，滲透數形結合的數學思想.
通過自主探索、合作交流，學生歷經從“特殊——一般——特殊”的認知模式，完善認知結構.
通過層層深入，培養學生發散思維的能力，深化對求曲線方程本質的理解.
情感、態度與價值觀目標
通過合作學習，學生間、師生間的相互交流，感受探索的樂趣與成功的喜悅，體會數學的理性與嚴謹，逐步養成質疑的科學精神.
展現人文數學精神，體現數學文化價值及其在在社會進步、人類文明發展中的重要作用.
2.教學重點和難點
重點：求曲線方程的方法、步驟
難點：幾何條件的代數化
依據：求曲線方程是解幾研究的兩大類問題之一，既是重點也是難點，是高考解答題取材的源泉.主要包括兩種類型求曲線的方程：一是已知曲線形狀時常用待定系數法；二是動點軌跡方程探求，本課的重點主要是探索動點的曲線方程.
曲線與方程是貫穿平面解幾的知識，是解析幾何的核心.求曲線方程是幾何問題得以代數研究的先決，求曲線方程的過程類似數學建模的過程，是課堂上必須突破的難點.
三、教學方法及教材處理
1.教學方法：探究發現教學法.
遵循以學生為主體，教師為主導，發展為主旨的現代教育原則，以問題的提出、問題的解決為主線，始終在學生知識的“最近發展區”設置問題，通過學生主動探索、積極參與、共同交流與協作，在教師的引導和合作下，學生“跳一跳”就能摘得果實，于問題的分析和解決中實現知識的建構和發展，通過不斷探究、發現，讓學習過程成為心靈愉悅的主動認知過程，使師生的生命活力在課堂上得到充分的發揮.
2.學法指導
學生學法：互相討論、探索發現
由于學生在嘗試問題解決的過程中常會在新舊知識聯系、策略選擇、思想方法運用等方面遇到一定的困難，需要教師指導.作為學生活動的組織者、引導者、參與者，教師要幫助學生重溫與問題解決有關的舊知，給予學生思考的時間和表達的機會，共同對（解題）過程進行反思等，在師生（生生）互動中，給予學生啟發和鼓勵，在心理上、認知上予以幫助.
這樣，在學法上確立的教法，能幫助學生更好地獲得完整的認知結構，使學生思維、能力等得到和諧發展.
3.設計理念：
求曲線方程就是將曲線上點的幾何表示形式轉化為代數表示形式。在這轉化過程中，學生通過積極參與、勇于探索的學習方式，讓學生的學習過程成為教師指導下的再創造，這也正是建構主義理論的本質要求；遵循學生認知規律，尊重學生個體差異，立足教材，通過對例題的再創造，體現理論聯系實際、循序漸進和因材施教的教學原則，讓不同層次的學生得到不同層度的發展；通過激發興趣，強調自主探索與合作交流，讓學生逐步地從學會走向會學，由被動走向主動，由課堂走向社會，為學生的終身學習和終身發展奠定良好的基礎，也是當前新課程所追求的基本理念.
四、教學過程（教學設計）
根據本課教學內容幾何特性外化的特點，抓住形成軌跡的動點具備的幾何條件，運用坐標化的手段及等價轉化與數形結合的思想方法，突破難點，突出重點.本課的教學設計思路是：
創設情景——從感性的軌跡（圖形）認識，到解決生活上的實例，激發學生的求知欲望，抓住學生迫切一試的認知心理，自然引入坐標法的意義及曲線方程的求法.
例題探求——例題一體現知識的承前啟后.通過例題一的呈現，學生借助已有的知識經驗，自主探求獲得問題的求解，在教師的引導下，讓學生感受求曲線方程的含義及求解步驟；例題二及變式解決建系難點，建系的開放性，對學生是一種挑戰，也是一種創造；兩個例題由淺入深，循序漸進，體現因材施教.至此，學生已能初步了解求曲線方程的一般方法和步驟了.
歸納步驟——學生親身經歷求曲線方程的過程，讓學生歸納（用自己的語言）、表述求解的步驟，體現從“特殊——一般”認知規律，逐步實現教學目標.
變式練習——通過對例題的變式，由學生求解、回答變式后的含義，深化對認知結構的理解，初步體會數學的理性與嚴謹，逐步養成質疑與反思的習慣.
反饋練習——利用學生探索而發展來的認知水平，運用獲得的知識解決情景創設中的實際問題，一方面可以考察學生運用所學數學知識解決實際問題的意識和能力；另一方面是學生思維的自然順應，自然釋放，是“一般——特殊”的過程.全面完成教學目標.
人教版高中數學《曲線和方程（2）求曲線的方程》說課教案.rar